求单源最短路

一、求正权图的单源最短路

对于求正权图的单源最短路问题，我们一般使用Dijistra算法求解

Dijistra算法

Dijistra算法的基本思想是贪心。

我们可以先把所有点的距离设为一个无穷大的数，然后将起始点的$dis$设为一，每次找一个$dis$最小并且没有被标记过的点，然后将这个点打上标记，查询这个边所有的出边，设原点为$i$，这条出边对应的点为$j$，这条边的边权为$v$，则当$dis_i+v<dis_j$时更新$dis_j$的值，当所有边都被标记时，从这个点到其它点的最短路就都求出来了。

代码实现

时间复杂度$O(n^2)$

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<array>
#include<bitset>
using namespace std;
using gg=long long;
array<gg,200010> nxt,to,val;
array<gg,100010> head,dis;
bitset<100010> fl;
gg cnt=0;
void add(const gg &x,const gg &y,const gg &v) //链式前向星存图
{
    cnt++;
    nxt[cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
    to[cnt]=y;
    val[cnt]=v;
    return;
}
int main()
{
    gg n,m,x,y,v; //n个点，m条边
    cin>>n>>m;
    while(m--) //建图
    {
        cin>>x>>y>>v;
        add(x,y,v);
    }
    for(gg i=1;i<=n+1;i++) dis[i]=114514114514;
    dis[1]=0;
    while(1)
    {
        gg x=n+1;
        for(gg i=1;i<=n;i++)
        {
            if(dis[x]>dis[i]&&fl[i]==false)
            {
                x=i;
            }
        }
        if(x==n+1) break;
        fl[x]=true;
        for(gg i=head[x];i;i=nxt[i])
        {
            if(dis[x]+val[i]<dis[to[i]])
            {
                dis[to[i]]=dis[x]+val[i];
            }
        }
    }
    for(gg i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dis[i]<<'\n';
    }
    return 0;
}

这时候，细心的同学可能已经发现了嗷——这个找dis最小值的操作完全可以使用STL中的优先队列实现

改进后代码

时间复杂度$O(nlogn)$

#include<iostream>
#include<array>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<utility>
using namespace std;
using gg=long long;
array<gg,400010> nxt,to,val;
array<gg,200010> head,dis;
bitset<200010> fl;
priority_queue<pair<gg,gg>,vector<pair<gg,gg>>,greater<pair<gg,gg>>> list;
gg cnt=0;
void add(const gg &fr,const gg &t,const gg &v)
{
    cnt++;
    to[cnt]=t;
    nxt[cnt]=head[fr];
    head[fr]=cnt;
    val[cnt]=v;
    return;
}
int main()
{
    gg n,m,x,z,y,s;
    cin>>n>>m>>s;
    for(gg i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>x>>y>>z;
        add(x,y,z);
    }
    for(gg i=1;i<=n;i++)
    {
        dis[i]=114514114514;
    }
    dis[s]=0;
    list.push(make_pair(0,s));
    while(!list.empty())
    {
        gg poi=list.top().second;
        list.pop();
        if(fl[poi]) continue;
        fl[poi]=true;
        for(gg i=head[poi];i;i=nxt[i])
        {
            if(dis[poi]+val[i]<dis[to[i]])
            {
                dis[to[i]]=dis[poi]+val[i];
                list.push(make_pair(dis[to[i]],to[i]));
            }
        }
    }
    for(gg i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dis[i]<<' ';
    }
    cout<<'\n';
    return 0;
}

Dijistra练习题

洛谷P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

二、求带负边的单源最短路

如果图中存在负边，Dijistra算法就不能用了，因为其中的判断会不断加上这条负边从而出现更小的数，这个时候，就是著名的SPFA算法出场的时候了！

SPFA算法

SPFA算法维护一个队列，首先把起点处的$dis$更新为0，其余初始化为无穷大，并将起点加入队列中，打上标记。每次取出队头的一个点，并把这个点的标记消除，扫描这个点的所有出边，设原点为$i$，这条出边对应的点为$j$，这条边的边权为$v$，则当$dis_i+v<dis_j$时更新$dis_j$的值并查看点j是否在队列中，如果不在就将点j加入队列，并打上标记。当队列为空时，就求出了原点到各个点的最短路。

注意:SPFA在应对随机数据时为$O(kn)$的时间复杂度，其中$k$是一个较小的数，但当数据为特殊构造时，此算法的时间复杂度会被卡到$O(nm)$，因此使用此算法时应三思而后行

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<array>
#include<queue>
#include<bitset>
using namespace std;
using gg=long long;
array<gg,200010> nxt,to,val;
array<gg,100010> head,dis;
bitset<100010> fl;
queue<gg> list;
gg cnt=0;
void add(const gg &x,const gg &y,const gg &v) //链式前向星存图
{
    cnt++;
    nxt[cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
    to[cnt]=y;
    val[cnt]=v;
    return;
}
int main()
{
    gg n,m,x,y,v; //n个点，m条边
    cin>>n>>m;
    while(m--) //建图
    {
        cin>>x>>y>>v;
        add(x,y,v);
    }
    for(gg i=1;i<=n+1;i++) dis[i]=114514114514; //初始化
    dis[1]=0;
    list.push(1);
    fl[1]=true;
    while(!list.empty()) //SPFA
    {
        gg p=list.front();
        list.pop();
        fl[p]=false;
        for(gg i=head[p];i;i=nxt[i])
        {
            if(dis[p]+val[i]<dis[to[i]])
            {
                dis[to[i]]=dis[p]+val[i];
                if(!fl[to[i]]) list.push(to[i]),fl[to[i]]=true;
            }
        }
    }
    for(gg i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dis[i]<<'\n';
    }
    return 0;
}

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